KLEIN-Flasche

Die KLEIN-Flasche ist eine geschlossene, nichtorientierte Fläche ohne Innen- oder Aussenseite. Konstruieren läßt sich die Klein-Flasche, indem man die Seiten eines Rechtecks, bei dem der obere und untere Teil die gleiche Orientierung haben, die linken und rechten Seiten des Rechtecks aber entgegengesetzte Orientierung besitzen, zusammenklebt (s. Abbildung).

images/rechteck.jpeg

Dadurch entsteht ein Zylinder, dessen Enden verdrillt sind. Diese lassen sich nur im R4 ohne Selbstüberschneidung zusammensetzen. Im R3 entsteht eine Fläche mit der Gestalt:

Im folgenden ist eine Abwicklungen der Klein-Flasche im R3 dargestellt (diese wurden mit Maple V R4)

Die Klein-Flasche erhält man in MAPLE mit den Parametern:

restart;with(plots):

setoptions3d(title=`Klein Bottle`,style=PATCHNOGRID,
scaling=CONSTRAINED,light=[90,45,.8,.7,.6],
ambientlight=[.2,.2,.2],orientation=[210,100],grid=[80,40]);

pz := cos(t)^2;

py := -cos(t)^3*sin(t);

tz := -1/36*cos(t)*(-3+4*cos(t)^2)*(3*sin(2*t)+4);

ty := 1/18*sin(t)*(2.5*sin(2*t)+4);

tx := simplify(sqrt(tz^2+ty^2));

plot3d([tx*sin(s),py+ty*cos(s),pz+tz*cos(s)],
t=0..Pi, s=0..2*Pi);