DUFFING-Oszillator

Duffing untersuchte zu Beginn des Jahrhunders intensiv periodisch angetriebenen Oszillatoren mit nichtlinearen Rückstellkräften (nicht-lineare Feder). Man bezeichnet heute ein dynamisches System der Gestalt:

als ein DUFFING-System.

Mit den Parametern:

a = 0.25, b = 0.3, c = 1.0

und den Anfangsbedingungen

x(0) = 0., y(0) = 0., z(0) = 0.

findet man komplexes dynamisches Verhalten. In MAPLE läßt sich die DUFFING-Gleichung auf die folgende Weise simulieren:

restart:digits:=20;

with(plots):

sys:={diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-0.25*y(t)+x(t)-x(t)*x(t)*x(t)+0.3*cos(z(t)),
diff(z(t),t)=1,x(0.)=0.0,y(0.)=1.0,z(0.)=0.};

fcn:={x(t),y(t),z(t)};

sol:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=rkf45);

odeplot(sol, [y(t),x(t)],0..200,numpoints=2000, axes=boxed, color=red);

Das Java-Applet zeigt die Duffing-Oszillationen in der (x, diff(x,t))-Ebene. In diesem Fall ist der Phasenraum des korrespondierenden autonomen Systems dreidimensional und somit können sich in der Projektion auf die Ebene Trajektorien ohne Verletzung der Eindeutigkeit schneiden:

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BIRKHOFF-SHAW Attraktor

Der BIRKHOFF-SHAW Attraktor resultiert aus dem Differentialgleichungssystem (periodisch angetriebenes dynamisches System):

Mit den Parametern:

a = 0.7, b = 10.0, c = 0.1, d = 0.25, e = 1.57

und den Anfangsbedingungen:

x(0) = 0.0, y(0) = 0.0, z(0) = 0.0

Der Poincare-Schnitt für verschiedene Phasen ergibt einen Torus mit Falten auf der Oberfläche

birkhoff.gif

Die Poincare-Abbildung ist eine spezielle Art der stroboskopischen Darstellung. Dadurch erreicht man eine Reduktion der Dimension des Darstellungsraumes um eins und i.a. große Vorteile bei der Beschreibung des dynamischen Systems.

In MAPLE erhält man den BIRKHOFF-SHAW-Attraktor auf die folgende Weise:

restart:digits:=10:with(plots):

Die dynamische Gleichung fuer den Birkhoff-Shaw-Attraktor ist gegeben durch:

sys:={diff(x(t),t)-0.7*y(t)-10.*x(t)*(0.1-y(t)^2),
diff(y(t),t)+x(t)-0.25*sin(1.57*z(t)),
diff(z(t),t)-1.,x(0.)=0.0,y(0.)=0.,z(0.)=0};

fcn:={x(t),y(t),z(t)};

Numerische Integration mit einem Runge-Kutta-Verfahren liefert
lsg:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=classical,output=listprocedure);

Der Poincare-Schnitt für verschiedene Phasen ergibt einen Torus mit
Falten an der Oberfläche:

xt:=subs(lsg,x(t)):

yt:=subs(lsg,y(t)):

zt:=subs(lsg,z(t)):

S1:=[seq([0,yt(i*2*Pi/1.57),xt(i*2*Pi/1.57)],i=0..3000)]:

S2:=[seq([Pi/4,yt(i*2*Pi/1.57+Pi/4),xt(i*2*Pi/1.57+Pi/4)],i=0..3000)]:

S3:=[seq([Pi/2,yt(i*2*Pi/1.57+Pi/2),xt(i*2*Pi/1.57+Pi/2)],i=0..3000)]:

S4:=[seq([3*Pi/4,yt(i*2*Pi/1.57+3*Pi/4),xt(i*2*Pi/1.57+3*Pi/4)],i=0..23000)]:

P1:=pointplot3d(S1,style=point,color=black):

P2:=pointplot3d(S2,style=point,color=black):

P3:=pointplot3d(S3,style=point,color=black):

P4:=pointplot3d(S4,style=point,color=black):

display3d(P1,P2,P3,P4);