CHAOTISCHE Attraktoren

In den letzten Jahren wurden nichtlineare dynamische Systeme in verschiedenen naturwissenschaftlichen Bereichen untersucht. Es gibt keine Disziplin, in der nicht komplexes dynamisches Verhalten beobachtet worden wäre. Diesen Systemen ist gemein, daß sie eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen besitzen. Kleinste Änderungen in den Anfangsbedingungen führen zu großen Unterschieden im Endzustand. Da physikalische Zustände nur mit endlicher Genauigkeit gemessen werden können sind der Voraussagbarkeit Grenzen gesetzt. Man nennt solche System chaotisch.

Bei chaotischen Systemen ist eine komplizierte Wechselwirkung mit der Umgebung nicht notwendig. Die Quelle des zufälligen Verhaltens liegt im System selbst, es beruht auf den komplizierten instabilen Bahnkurven (Trajektorien). Benachbarte Trajektorien laufen mit exponentieller Zunahme des Abstandes auseinander.

Im folgenden werden Beispiele für chaotische dynamische Systeme vorgestellt. Die Differentialgleichung wurden mit Hilfe des Computeralgebrasystems MAPLE V numerisch integriert unter Ausnutzung eines Runge-Kutta-Verfahren.

 

LORENZ Attraktor

LORENZ (1963) vereinfachte durch FOURIER-Modenansätze die hydrodynamischen Gleichungen, die das RAYLEIGH-BENARD Experiment beschreiben. Er erhielt die dynamischen Gleichungen:

Dabei bezeichnet x(t) die die dimensionslose Geschwindigkeitsamplitude, y(t) sowie z(t) sind dimensionslose Amplituden von Temperaturmoden. Die Parameter sind die PRANDTL-Zahl s, die normierte RAYLEIGH-Zahl und eine Konstante b, die mit der Wellenzahl k der horizontalen Fundamentalmoden zusammenhängt.

Die LORENZ-Gleichungen beschreiben die physikalische Situation nur für hinreichend kleine Werte von r korrekt.

Den LORENZ-Attraktor, der eines der ersten Beispiele für numerisch untersuchte komplizierte Attraktroren ist, erhält man mit den Parametern:


s = 10, b = 8/3, r = 28


und den Anfangsbedingungen:


x(0) = 10.0, y(0) = 0.0, z(0) = 25.0

Für das LORENZ-System entsteht mit obigen Parametern und Anfangsbedingungen die Kurve x(t) in Abhängigkeit der Zeit t:

Aufschlußreicher ist es die Trajektorie mit den Koordinaten (x,y,z) im dreidimensionalen Raum aufzuzeichnen

[Maple Plot]

Diesen Attraktor erhält man in MAPLE mit den Anweisungen:

restart:digits:=20;

sys:={diff(x(t),t)-10*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t)-28*x(t)+y(t)+x(t)*z(t),
diff(z(t),t)+8/3*z(t)-x(t)*y(t),x(0.)=10.0,y(0.)=0.,z(0.)=25.};

sol:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=rkf45);

odeplot(sol, [y(t),x(t),z(t)],0..100,numpoints=6000, axes=boxed, color=red);

 

RÖSSLER-Attraktor

Im Jahr 1976 entdeckte O. RÖSSLER ein besonders einfaches dynamisches System das einen chaotischen Attraktor besitzt. Er verwendete das Differentialgleichungssystem:

Mit den Parametern:

a = 0.17, b = 0.4, c = 8.5


und den Anfangsbedingungen:


x(0) = 1.0, y(0) = 0.0, z(0) = 0.0 erhält man:

[Maple Plot]

 

Diesen Attraktor erhält man in MAPLE mit den Anweisungen:

restart:with(plots):

Die dynamische Gleichung fuer das Roessler-System ist gegeben durch:

sys:={diff(x(t),t)+y(t)+z(t),diff(y(t),t)-x(t)-0.17*y(t),
diff(z(t),t)-0.4-x(t)*z(t)+8.5*z(t),x(0.)=1.0,y(0.)=0.,z(0.)=0.};

fcn:={x(t),y(t),z(t)};

sol:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=rkf45);

odeplot(sol, [y(t),x(t),z(t)],0..200,numpoints=6000, axes=boxed, color=red);